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教科書に意義アリ!
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k-yamano
2005-06-24 04:38:28 UTC
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(問題) 水平な床、と、垂直な壁があって剛体棒が斜めに立てかけて在る。壁と棒との間の摩擦係数は0で、床と棒との間の摩擦係数はμであるとする。壁と棒とのなす角度を大きくしていくとθになると棒はすべりおちた。μの値をθを用いて表せ!



 この問題の一般的解法は良く知られていて、答えはtanθ/2だ!



 だが動かない壁が棒を無条件に押すわけがナイ、などの細々とした配慮に欠ける無神経な解き方である・・



 壁と棒の接点を点A、棒と床の接点を点B、としてみたまえ!



 さらに棒の重さをWとする。重力が原因で点A・点Bとに作用する力はいずれも鉛直下向きにW/2であろう!


 点Aにおいて、その力は壁を垂直にWtanθ/2で押す力と、棒を縮める方向にW/2cosθに分かれる。(根拠は他に力が作用する方向がナイからである)

 棒はフックの法則より、その力の反作用を壁に及ぼそうとするが壁は力を斜めに受けることはナイので、棒内部で鉛直上向きにW/2の力と水平に壁を押す向きにWtanθ/2とに分かれる。

 棒は鉛直方向にはつりあい、水平方向には垂直に壁を押して壁からの反作用を受ける。都合、点Aでは水平方向にはWtanθの力のやりとり(作用反作用)が生じている・・

 点Bにおいて、棒が床から受ける重力の反作用は鉛直上向きにW/2であるが、それは、棒を縮める向きにW/2cosθの力と棒を水平方向に動かそうとする向きにWtanθ/2とに分かれる。

 棒からの反作用W/2cosθが床を斜めに押す向きに生じる。それは、床を垂直に押す向きにW/2と棒自身を水平方向に動かそうとする向きにWtanθ/2とに分かれる。



 1)都合、つりあうために要求される力はWtanθであり、

 2)垂直抗力とみなされる力はW、

 3)棒を縮める向きの力をさらに分解してでてくる水平方向の力は、接地面が物体に作用している力の水平分力なので摩擦力とみなされる。

 4)以上より、μ=tanθであり、従来の問題ある解法のちょうど二倍である!




t***@lbm.go.jp
2005-06-25 11:41:40 UTC
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***@lbm.go.jp
k***@mbh.nifty.com
2005-06-27 02:08:25 UTC
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とりあえず、力のベクトル分解や合成に間違いは無いし、
作用と反作用を合計して力を2倍にしてしまうミスは
式の両辺を共に2倍する形になって、結果には影響を及ぼしていない。
とありますが,下のA点(B点における記述も同様なんですが)の分解って正しいのでしょ
うか。
しばらく考えてみたんですが,なぜそんな風になるのかよく分かりませんでした。
(もちろん,そんな力は無いと思いますが,A点の鉛直下向きの力がW/2と仮定した場
合。)
 点Aにおいて、その力は壁を垂直にWtanθ/2で押す力と、棒を縮める方向にW/2
cosθに分かれる。(根拠は他に力が作用する方向がナイからである)
これって要するに、棒の方向を変化させないような拘束がある状況、
例えば、内面に摩擦の無い筒で棒を支えるというような状況と
等価になってしまっているわけで、
そりゃ当然、結果は「μ=tanθ」になるわいな。
ここもよく理解できなかったんですが,上のような拘束力があるとなしでは摩擦角が違って
くるということなんでしょうか。(摩擦角が,それで変化するとは思えないんですが。)

感覚的になんか変かなと感じただけなので,勘違いしているかも知れませんが。
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keizi kounoike
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k***@mbh.nifty.com
2005-06-27 23:37:40 UTC
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Post by k***@mbh.nifty.com
これって要するに、棒の方向を変化させないような拘束がある状況、
例えば、内面に摩擦の無い筒で棒を支えるというような状況と
等価になってしまっているわけで、
そりゃ当然、結果は「μ=tanθ」になるわいな。
ここもよく理解できなかったんですが,上のような拘束力があるとなしでは摩擦角が違っ

Post by k***@mbh.nifty.com
くるということなんでしょうか。(摩擦角が,それで変化するとは思えないんですが。)
これ取り消します。片やμ=tanθで片やμ=tanθ/2となるので,摩擦角が変わるとかなん
か狂った事を書いてしまいました。摩擦力や摩擦角とこれらはなんの関係も関係もありませ
んね。ただ,θとμの関係を言っているので,条件により変わるのは当然といえば当然で。
(上の拘束条件において,μ=tanθとなるのは以前理解できていませんが。どんな角度で
も棒は静止できるので,どういう訳で,θとμに関連が出てくるのかが?)
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keizi kounoike
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t***@lbm.go.jp
2005-06-28 02:21:14 UTC
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Post by t***@lbm.go.jp
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k***@mbh.nifty.com
2005-06-28 04:39:28 UTC
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Post by k-yamano
 点Aにおいて、その力は壁を垂直にWtanθ/2で押す力と、
棒を縮める方向にW/2cosθに分かれる。
難しく考え過ぎてませんか?
「鉛直下向きの力W/2」を
「壁を垂直に押す力」と「棒を縮める方向の力」に分解しただけです。
そっか,戸田さんがそんな簡単な間違いをする訳はないとは思っていたんですが。
上のW/2cosθって,W/(2*cosθ)のことですか。てっきり(W/2)*cosθと思い
込んでいたのでどうしても,ベクトルが閉じないので変だなと。バカみたい。
この「拘束条件」の表現じゃダメだったかな?(ちょっと自信が無い^_^;)
本質的には、棒が床に与える作用が、
「棒の方向に押す力」と看做せる条件です。
この力と垂直抗力と摩擦力との3者がバランスするので、
「垂直抗力と摩擦力の合力」が棒の方向を向くという条件になり、
摩擦力=垂直抗力×tanθ
になります。
従って、摩擦力と垂直抗力を結ぶ関係における臨界値であるμが
tanθの臨界値を決定することになります。
そうゆうことでしたか。納得しました。
というか,上の説明って摩擦係数や摩擦角の定義そのもものような気も。
私レベルへの説明としては,筒の表現では理解はちょっと無理があるように思いました。
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keizi kounoike
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t***@lbm.go.jp
2005-06-28 07:28:06 UTC
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***@lbm.go.jp
Shinji KONO
2005-06-28 08:31:06 UTC
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フツー「摩擦角」は「重さ」が鉛直なまま
垂直抗力が斜めになる設定で考えると思うんですが、
今は、垂直抗力が鉛直なまま「重さ」が斜めになる
という無理のある設定を考えなきゃいけないんで、
どうもスッキリできる例が思い浮かばないんです。
僕は、ハミルトニアンを自分で発見するまで、このあたり、納得す
ることはできませんでした。発見したら「あ、なーんだ、当り前じ
ゃん」でした。エネルギー保存と拘束条件。わっかりやすい。

結局、力とか考えるからだめだめなんで、力学系の拘束条件とエネ
ルギーの動きが問題でしょ? 力で考えようとすると、ミクロ系から
積み上げるっていう発想になるけど、摩擦とか抗力って、そういう
ものではなくて、本質的にマクロ系ですよね。なんで、力で解こう
とすると、隠れた仮定が入りまくりになっちゃう。なんで、そんな
こと(抗力が垂直とか、摩擦力が時間的に一定とか)が起きるかって
のを疑問に思うような人は、力から、力学系を解くことを納得する
ことはできないと思う。質点系ならともかく...

高校にはファイマンレクチャーって置いてあったような気もするん
だけど... あれって読んでも計算できるようにならないのが問題
なんですよね。

大学に入って、ランダウ・リフシッツを読むと、また、なんか微妙
に差があるんだよね。極座標系と直交座標系の変換を暗算で出来る
ようにはなりませんでした。そのあたりが、僕の物理学の限界だっ
たかも。

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
k***@rist.kindai.ac.jp
2005-06-28 08:31:06 UTC
Permalink
k-yamano $B$5$s$N2r$-J}$N$^$:$$E@$O(B $BE@(BA, B $B$,9dBN$H$7$F$D$J$,$C$F$$$F(BA$B$K(B
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Kiguchi,
Shinji KONO
2005-06-29 00:58:13 UTC
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1) 重力は剛体棒の重心に働くと考えなくてはならない。
剛体束縛はホイヘンス流に考えればテコの原理で表現でき、重心回りの重力ト
ルクはゼロである。
2) 抗力 N は面に垂直に働く。
これをはっきり言ったのはダランベールかな。いわゆる仮想仕事の原理。
束縛力は仕事をしない。
このあたり(力学系の拘束条件からくる制約)を、「運動は力で決ま
る」みたいな嘘を元に、中学生や(ひねた)高校生に納得させるのは
不可能だと思う。これらの力は、拘束条件を実現するために「存在
して欲しい力」ですよね。なんで、そんなに都合良く出現する力が
あるのか?

大きさや内力を持つ物体を、少ないパラメータで表現できるのは何
故か? それは、エネルギー保存や運動量保存の制約から可能になっ
ていることで、実は、出発点は、保存則だってことですよね。だか
ら、その力学系に存在するエネルギーに注目すれば良くて、力は、
そこから導出されるってわけだな。だから、都合良く出て来てくれ
る。
3) 摩擦力は F= μ N で表される。
これは現象論だから、あれこれ考えても仕方がない。
ミクロなでこぼこのある斜面に対して、「抗力 N は面に垂直に働
く」ってなわけにはいきませんよね。

個々の原子に働く力とかではなく、マクロな現象として摩擦を取り
扱うにはどうすれば良いかってことで、
H = 一定
ではなくて、
H = ΔE
みたいな形で失われていく、あるいは、熱に転嫁されていく摩擦エ
ネルギーなわけだよね。

結局は、「解ける問題」を提示しているから、あんな問題が出て来
るわけで、「解ける問題の類型」を学習するって割り切れば、もっ
と、楽に理解できたと思う...

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
k***@rist.kindai.ac.jp
2005-06-29 04:23:22 UTC
Permalink
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Kiguchi,
Shinji KONO
2005-06-29 06:44:38 UTC
Permalink
現代的な理解もいいけれど、個別発生は系統発生を繰り返すので、昔の天才が
何を考えたのかを知っておく必要があると思う。剛体の話にしてもアルキメデ
スから始まって、振動中心にかんするメルセンヌ問題、その解としてのホイヘ
ンスの剛体振り子などの問題をどう解いたかの知識がないとね。
ところがさ、物理の歴史的にも、保存量は「速度の二乗か速度か」
とかの議論が力(F=ma)より先行しているんですよね。その議論の後
で、ニュートンがあれをでっちあげて、

F=ma

が先行するようになってしまったわけでしょ? やっぱり加速度って
のは、かなり高度な概念で、F 自体も目に見えないわけだから、そ
れが最初かってのは無理あると思う。ニュートン流の定式化の弊害
の一つだと思います。そもそも、作用反作用を基本法則に持って来
るあたりセンスがぼけぼけだと思う。

例えば、慣性の法則自体、

F = 0 だから、a = 0 だ

って見るよりも、

mv という保存則があるから、v = 一定だ

って方が観測と直接に結び付いてますよね。天体力学でも逆二乗法則
より、ケプラーの面積速度一定の方が先に指摘されています。本質的に
保存則の方が理解しやすいってことです。

で、それは、現代的な理解からも当然なんですよね。だって、ハミ
ルトニアンが基本法則なわけだから。
まあ、初等力学というのは、老ダランベールに影響を受けたナポレオンが優秀
の砲兵を作るために工科学校を作ったとき完成した学問で、ポエニ戦争のアル
キメデス以来、軍事と関係しているけれどね。そこで固定してしまったことが
問題なんだけれど。
F=ma が重視されるのは、そういう点もありますね。弾道学ばかり
が物理じゃないぞっていう感じ。
しかし、現在の工科の大学生を見ていると、古代バビロニアの知識さえ受け継
いでいないことを思い知らされるよ。まず、何々あたりという比の概念が分か
らない。長さが2倍になったら体積は何倍になるかというスケーリングもでき
ない。なんでこうなったのかと思う毎日。
それは、確かに... 日常生活に基づいた学習を目指して欲しい。

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
t***@lbm.go.jp
2005-06-30 01:24:33 UTC
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Post by k***@rist.kindai.ac.jp
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***@lbm.go.jp
ぷらとん
2005-06-29 22:25:17 UTC
Permalink
しかし、現在の工科の大学生を見ていると、古代バビロニアの知識さえ受け継
いでいないことを思い知らされるよ。まず、何々あたりという比の概念が分か
らない。長さが2倍になったら体積は何倍になるかというスケーリングもでき
ない。なんでこうなったのかと思う毎日。
小学校高学年で有名私立中学受験の準備のため、遠方の有名塾に
特急列車で往復数時間もかけて通って学んでいるような子の個人指導
をしたことがありますが、中学入試の予想問題で勉強しているときに、
相似な立体図形どうしの相似比が2だと、体積比をうっかり4にしてしま
う瞬間が有ったりしたと記憶しています。
塾で大急ぎで詰め込まされた知識が不正確に頭に残っているのかな、
と思ってしまいました。(私の見当違いかもしれませんけど。)

私なんかは小学校高学年のころは、算数の古典的難問を味わっていた
ぐらいのことしかしてなくて、のんびりすごしてました。相似比と面積比、
体積比の関係などは中学2年で習うのに合わせて、正方形や立方体
などを思い浮かべて味わっていたような気がします。

今の高校生は高校1年で初めて、そのことについて習うことになっている
ようですね。(指導要領では)

湯川秀樹氏が小学生のころ自宅で自力で等差数列の和の公式を導き出
したなどのように、素質の有る人が静かな環境で、学校で習うよりも進んだ
ことが自力で分るというのは良いでしょうが、指導要領に合わせてゆっくり
味わいながら学ぶくらいがちょうどいい子が、無理に早期に知識を詰め込
まれると、何らかの問題が生じるのではないかと思います。
Shinji KONO
2005-06-30 00:00:50 UTC
Permalink
Post by ぷらとん
湯川秀樹氏が小学生のころ自宅で自力で等差数列の和の公式を導き出
したなどのように、
その程度だったら、ごろごろいると思う...
Post by ぷらとん
素質の有る人が静かな環境で、学校で習うよりも進んだ
ことが自力で分るというのは良いでしょうが、指導要領に合わせてゆっくり
味わいながら学ぶくらいがちょうどいい子が、無理に早期に知識を詰め込
まれると、何らかの問題が生じるのではないかと思います。
ってのも、子供の頃にいろいろ言ってた先生がいたような気もする
が、さっさと勉強して、どんどん先、行った方が良かったってのが
僕の結論です。あとで、学ばなければいけないものたくさんあるの
で。

つうか、その「平均に合わせる」ってので、小学生/中学生の時に
は、不必要な苦労をしたって感じだね。僕は。

早期に知識を詰め込んで「わからない」ってのは別にいいんです。
あとで学んだ知識なり、理解などから「あ、あの時のはそうだった
のか」ってわかるから。でも、退屈な授業で居眠りこいていた時間
(あるいは、先生に先走った質問して無駄にした時間) は、二度と
取り返せない。

そもそも、その「何らかの問題」ってなんだよ...

---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
ぷらとん
2005-07-02 01:41:14 UTC
Permalink
現代的な理解もいいけれど、個別発生は系統発生を繰り返すので、昔の天才が
何を考えたのかを知っておく必要があると思う。剛体の話にしてもアルキメデ
しかし、現在の工科の大学生を見ていると、古代バビロニアの知識さえ受け継
いでいないことを思い知らされるよ。まず、何々あたりという比の概念が分か
らない。長さが2倍になったら体積は何倍になるかというスケーリングもでき
ない。なんでこうなったのかと思う毎日。
もともと日本は古代中国の影響下にあったため、小数文化圏に属していた
らしくて、比や分数の文化圏に属しているとは言い難かったのではないで
しょうか。

仮に中学入学前に平面図形や立体図形の相似や、相似比、面積比、
体積比などについて無理に早期に知識を詰め込まれていたら、そして
さらに

「真理探求への欲求」、
「自分の思考が点的思考に過ぎないことを自覚出来ること」
「点的思考を線的思考にまとめ直す習慣」

などが揃わずに、当面の入試突破のための当座の手段ぐらいにしか
受けとめていないなら、詰め込んだ根無しの知識は忘れる可能性が
高いのではないでしょうか。

もちろん、他の原因も考えられるでしょうけど。

# 小学段生の段階で悪質な有名中学志向の塾業者その他によって、
まともな学習への意欲も習慣も開発されなかった中学生や高校生が
学校によっても救われず、大学へは簡単に招き入れられて卒業して、
その一部が悪質詐欺的リフォーム業者などになったりするのではない
でしょうか。
k***@rist.kindai.ac.jp
2005-07-03 04:14:37 UTC
Permalink
***@nifty.ne.jp $B$5$s(B wrote
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Kiguchi,
ぷらとん
2005-07-03 22:31:21 UTC
Permalink
|もともと日本は古代中国の影響下にあったため、小数文化圏に属していた
|らしくて、比や分数の文化圏に属しているとは言い難かったのではないで
|しょうか。
気がつかなかったけれど、たしかにそうかもしれない。私が中学生の頃だった
か、著者の名前を忘れてしまったが、学生社から出ていた本でどこの古代の国
の話か忘れたが有理数の研究をちゃかしていた文章があったことを今でも鮮烈
に覚えている。
基本的な考え方は早い時期から教え込んでおいてもらいたいと思う。というか、
このような論理の上に話を展開できないから、大学の物理教育が完全に崩壊し
ているのです。
小数表示と分数表示(あるいは小数と分数)などについては、

銀林浩著「子どもはどこでつまずくか」(国土社、1975年)

の主張が間違っていないのではないかと思って、引用に近い
書き方をさせていただたものです。

その本では、当時の小学校低学年における小数と分数の同時
学習などが批判されていました。現在の子どもが学校や塾や
家庭教師や独学により、どんな学び方をしているのかは、まだ
詳しくは調べていません。

なお、私は多くの子どもにとって無理の有る教え方は良くなかろう
と言っているのであって、「発達に合わせた教授時期」をとらえる
ことは重要だろうと思っています。子どもにとっての1年の差という
のは、発達段階という意味でかなり大きなものではないかと思い
ます。

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